Формулы синуса и косинуса часто запоминают по прямоугольному треугольнику. Но что делать, если прямого угла нет? Плакат «Тригонометрия для всех треугольников» ставит рядом две другие связи — правило синусов и правило косинусов — и проводит через два числовых примера. Схему можно увеличить и скачать бесплатно над статьёй. Она особенно полезна, когда сначала нужно понять, какую формулу выбрать, а уже потом считать.
Подпишите стороны напротив углов
В верхнем блоке треугольник обозначен ABC. Сторона a лежит напротив угла A, сторона b — напротив B, сторона c — напротив C. Это не просто соглашение ради букв: если перепутать противоположную пару, даже верно записанная формула даст неверный результат. Перед вычислением проведите пальцем от угла через треугольник к стороне напротив него. Повторите для всех трёх пар.
Правило синусов связывает отношения a / sin A, b / sin B и c / sin C. Им удобно пользоваться, когда известны два угла и хотя бы одна сторона: третий угол находится из суммы 180°, после чего появляется известная пара «сторона — противолежащий угол». На левой половине плаката даны 95° и 40°. Неизвестный угол равен 45°. Если сторона напротив 40° имеет длину 4 см, то искомая сторона напротив 45° находится из отношения 4 / sin 40° и получается приблизительно 4,4 см.
Проверьте порядок величин без калькулятора: 45° больше 40°, значит сторона напротив 45° должна быть немного длиннее стороны в 4 см. Число 4,4 этому соответствует. Если ответ оказался меньше 4, вероятно, стороны или синусы в пропорции поменяли местами.
Когда нужен косинус
На правой половине известны две стороны, 3 см и 7 см, и угол 35° между ними. Такой набор данных позволяет применить правило косинусов: квадрат третьей стороны равен сумме квадратов известных сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус заключённого между ними угла. На схеме это записано как a² = b² + c² − 2bc cos A.
Подстановка даёт a² = 3² + 7² − 2 × 3 × 7 × cos 35°, то есть приблизительно 23,6. После извлечения корня получается a ≈ 4,86 см. Здесь важен последний шаг: число 23,6 — квадрат длины, а не сама длина. Ещё одна проверка: третья сторона должна быть больше разности 7 − 3 и меньше суммы 7 + 3. Результат 4,86 лежит внутри этого интервала.
Как не применить правило не к той задаче
Спросите себя: есть ли уже известная пара из стороны и противолежащего угла? Тогда рассмотрите правило синусов. Известны две стороны и угол между ними? Начните с правила косинусов. Если даны две стороны и угол не между ними, задача может иметь несколько вариантов; простое следование правому примеру с плаката уже не подходит.
Скачайте схему у изображения над статьёй и попробуйте решить оба примера, закрыв напечатанные ответы. Прикреплённые ниже плакаты о тригонометрии прямоугольного треугольника и основных соотношениях помогут повторить значения функций, которые понадобятся в вычислениях.
