Развёртки и площадь поверхности объёмных фигур

Что такое развёртка

Развёртка многогранника — плоская фигура, которую получают мысленным разрезанием поверхности по рёбрам и раскладыванием граней без наложения. Если сложить её по линиям рёбер, восстанавливается исходное тело.

У одного многогранника может быть несколько разных развёрток. Например, у куба существует 11 неизоморфных развёрток. Поэтому утверждение, что каждой фигуре соответствует единственная «сеть», неверно.

Площадь поверхности по развёртке

Площадь полной поверхности многогранника равна сумме площадей всех его граней. Развёртка помогает увидеть их количество и форму.

Для прямоугольного параллелепипеда с рёбрами $a$, $b$ и $c$:

$$S = 2(ab + bc + ac)$$

Для прямой призмы площадь полной поверхности равна сумме площадей двух оснований и боковых граней:

$$S_{\text{полн}} = 2S_{\text{осн}} + P_{\text{осн}}h$$

где $P_{\text{осн}}$ — периметр основания, а $h$ — высота прямой призмы.

Пирамида

Развёртка пирамиды состоит из основания и треугольных боковых граней. Для правильной пирамиды площадь боковой поверхности можно записать как

$$S_{\text{бок}} = \frac{1}{2}P_{\text{осн}}l,$$

где $l$ — апофема боковой грани. Эту величину нельзя автоматически заменять высотой пирамиды.

Цилиндр и конус

Боковая поверхность прямого кругового цилиндра разворачивается в прямоугольник со сторонами $2\pi r$ и $h$. Вместе с двумя круглыми основаниями:

$$S_{\text{полн}} = 2\pi rh + 2\pi r^2.$$

Боковая поверхность кругового конуса разворачивается в сектор круга радиуса $l$, где $l$ — образующая. Площадь полной поверхности:

$$S_{\text{полн}} = \pi rl + \pi r^2.$$

Почему у сферы нет точной развёртки

Сферическую поверхность нельзя развернуть на плоскость без растяжения, разрывов или искажений. Поэтому у сферы нет точной развёртки в том же смысле, что у куба или призмы. Картографические проекции и бумажные модели используют приближённые полосы или сегменты.

Площадь поверхности сферы вычисляют формулой

$$S = 4\pi r^2,$$

а не суммированием плоских граней.

Алгоритм решения

1. Определите тело и подпишите известные размеры.
2. Разделите поверхность на основания и боковые части.
3. Выберите формулу площади каждой части.
4. Проверьте, не посчитана ли одна грань дважды.
5. Запишите ответ в квадратных единицах.

Типичные ошибки

• Путать высоту тела, высоту грани и образующую.
• Считать, что у любой криволинейной поверхности есть точная развёртка.
• Забывать одно или оба основания.
• Подставлять диаметр вместо радиуса.
• Записывать площадь в линейных или кубических единицах.